Question

二次函数f（x）满足f（-3）=-73，f（-2）=-1，且对称轴x=-

3

2

（1）求f（x）； 
（2）求不等式f（x）＞-35x²-（108+3m）x+2m²-73（m∈R）的解集．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件设出函数的一般解析式，利用待定系数法进行求解；
（2）将不等式f（x）＞-35x²-（108+3m）x+2m²-73等价转化为-36x²-108x-73＞-35x²-（108+3m）x+2m²-73，对m进行分类讨论，利用一元二次不等式的解法进行求解；

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（-3）=-73，f（-2）=-1，且f（x）的最大值是8，
∴

a＜0 9a-3b+c=-73 4a-2b+c=-1 - b 2a =- 3 2

解得

a=-36 b=-108 c=-73

∴f（x）=-36x²-108x-73
（2）由（1）知不等式f（x）＞-35x²-（108+3m）x+2m²-73等价于-36x²-108x-73＞-35x²-（108+3m）x+2m²-73
即x²-3mx+2m²＜0即（x-m）（x-2m）＜0
当m=0时，所求不等式的解集为空集；
当m＞0时，所求不等式的解集为{m|m＜x＜2m}；
当m＜0时，所求不等式的解集为{m|2m＜x＜m}．

点评：此题主要考查二次函数的性质，以及一元二次不等式的求法，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道中档题；