Question

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R），且f（1）=0．
（1）若函数f（x）与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0）之间的距离为2，求b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数与x轴的交点坐标与二次方程的根之间的关系，建立x₁，x₂与其系数之间的关系是解决本题的关键；根据两交点之间的距离为2，列出关于字母b的方程完成求解；
（2）根据方程的根与函数零点之间的关系，列出函数在相应区间的端点值的正负的不等式组，通过求解不等式组得出b的取值范围．

解答：解：（1）由题可知，x₁=1，x₂=c，x₁+x₂=-2b
又|x₁-x₂|=|1-c|=2⇒x₂=c=-1或3⇒b=0或-2．
（2）令g（x）=f（x）+x+b=x²+（2b+1）x+b+c=x²+（2b+1）x-b-1
由题意，得到

g(-3)＞0 g(-2)＜0 g(0)＜0 g(1)＞0

⇒

b＜ 5 7 b＞ 1 5 b＞-1

⇒

1

5

＜b＜

5

7

，
故b的取值范围为(

1

5

，

5

7

)．

点评：本题考查二次函数的零点与二次方程的根之间的关系，考查二次方程根与系数之间的关系，考查学生对二次方程根的分步知识的理解和掌握程度，考查学生的转化与化归思想和方法．