Question

设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA₁成异面直线？（2）求直线BA₁和CC₁所成的角的大小．（3）求异面直线BC和AA₁的距离．

Answer 1

解：（1）根据异面直线的定义进行判定，可得
与直线BA₁成异面直线有D₁C₁、D₁D、C₁C、C₁B₁、DC、AD一共六条
（2）∵BB₁∥CC₁
∴∠B₁BA₁为直线BA₁和CC₁所成的角，
∵四边形AA₁B₁B是正方形
∴△B₁BA₁为等腰直角三角形
∴∠B₁BA₁=45°，即直线BA₁和CC₁所成的角为45°
（3）∵AB⊥AA₁，且AB⊥BC
∴线段AB是异面直线AA₁与BC的公垂线段，
∵正方体的棱长为a
∴异面直线BC和AA₁的距离等于a．
分析：（1）异面直线的定义：不同在任一平面内的两直线称为异面直线．根据这一定义找出与A₁B既不相交也不平行的直线，即可找到所有的与A₁B异面的直线；
（2）因为BB₁与CC₁平行，所以将CC₁平移到BB₁，从而∠B₁BA₁为直线BA₁和CC₁所成的角，在三角形A₁BB₁中易求；
（3）因为AB与AA₁垂直，并且AB与BC垂直，所以线段AB是异面直线AA₁与BC的公垂线段，所以异面直线BC和AA₁的距离就是正方体的棱长．
点评：本题是一道立体几何综合题，着重考查了异面直线的判定、异面直线及其所成的角的求法和空间点、线、面间的距离计算，属于基础题．