Question

8．已知抛物线y²=4x的准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²（a＞0）交于A，B两点，且F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线为x=-1，焦点为F（1，0）．根据对称性可得△FAB是等腰直角三角形，从而算出A、B的坐标，将其代入双曲线方程，解关于a的等式即可得到实数a的值．

解答 解：∵抛物线的方程为y²=4x，
∴抛物线的准线为x=-1，焦点为F（1，0）．
又∵直线x=-1交双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²（a＞0）于A、B两点，
△FAB为直角三角形．
∴△FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF'=2，
由此可得A（-1，2）、B（-1，-2），如图所示
将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得$\frac{1}{{a}^{2}}$-4=1，
解之得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍负），
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题给出抛物线与双曲线满足的条件，在已知抛物线的方程情况下求双曲线的标准方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．