Question

19．过直角坐标平面xOy中的抛物线y²=2px的焦点F作一条倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与抛物线相交于A，B两点．
（1）若p=2，求A，B两点间的距离；
（2）当p∈（0，+∞）时，判断∠AOB是否为定值．若是，求出其余弦值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线方程代入抛物线方程，利用弦长公式求A，B两点间的距离；
（2）直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，结合余弦定理，即可得出结论．

解答 解：（1）设直线与抛物线的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
焦点F（1，0），过抛物线的焦点且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线方程是y=x-1
代入y²=4x，可得x²-6x+1=0，
则x₁+x₂=6，
∴|AB|=x₁+x₂+p=8 …．（5分）
（2）y=x-$\frac{p}{2}$代入y²=2px，可得x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，则x₁+x₂=3p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$…..8
cos∠AOB=$\frac{|A{O|}^{2}+|BO{|}^{2}-|AB{|}^{2}}{2|AO||BO|}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}[{x}_{1}{x}_{2}+2p（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{p}^{2}]}}$=-$\frac{3\sqrt{41}}{41}$
∴∠AOB的大小是与p无关的定值．…..（15分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．