Question

14．已知c＞0，设命题p：函数y=c^x为减函数．命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立．
（1）如果“p或q”为真命题，求c的取值范围．
（2）如果“p且q”为真命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题为真的等价条件，结合复合命题的真假关系进行求解
（1）如果“p或q”为真命题，则等价求A∪B．
（2）如果“p且q”为真命题，则等价求A∩B．

解答 解：由c＞0，命题p：函数y=c^x为减函数．∴0＜c＜1．设A=（0，1），
命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立，
∴$\frac{1}{c}$＜（x+$\frac{1}{x}$）_min，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取等号．
∴$\frac{1}{c}$＜2，又c＞0，
∴c＞$\frac{1}{2}$．设B=（$\frac{1}{2}$，+∞）
（1）如果“p或q”为真命题，p，q至少有一个为真命题，
则满足A∪B=（0，+∞），
即c的取值范围是（0，+∞）．
（2）如果“p且q”为真命题，
则满足A∩B=（$\frac{1}{2}$，1），
即c的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，根据条件转化为集合的关系是解决本题的关键．