Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
（1）分别求f（$\frac{1}{2}$）+f（2），f（$\frac{1}{3}$）+f（3），f（$\frac{1}{4}$）+f（4）的值；
（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明；
（3）求值：f（$\frac{1}{2014}$）+f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{1}{2012}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…f（2013）+f（2014）

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，直接代入计算可得f（$\frac{1}{2}$）+f（2），f（$\frac{1}{3}$）+f（3），f（$\frac{1}{4}$）+f（4）；
（2）由（1）可猜想f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=1，先计算出f（$\frac{1}{x}$），再与f（x）相加后化简可得绪论；
（3）根据（2）中结论，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）+f（2）=$\frac{1}{5}$+$\frac{4}{5}$=1，
f（$\frac{1}{3}$）+f（3）=$\frac{1}{10}$+$\frac{9}{10}$=1，
f（$\frac{1}{4}$）+f（4）=$\frac{1}{17}$+$\frac{16}{17}$=1，
（2）由（1）可猜想f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=1，证明如下：
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{（\frac{1}{x}）}^{2}}{1+{（\frac{1}{x}）}^{2}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∴f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1，
（3）由（2）得：
f（$\frac{1}{2014}$）+f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{1}{2012}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…f（2013）+f（2014）=2013$\frac{1}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．