【题目】在中,
,
,
,已知
,
分别是
,
的中点,将
沿
折起,使
到
的位置如图所示,且
,连接
,
.
(1)求证:平面平面
.
(2)求平面与平面
所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点分别为
,连接
,根据已知可得
平面
,
为等边三角形,可证
平面
,再证
,从而有
平面
,即可证明结论;
(2)以为坐标原点建立如下图坐标系,确定出
坐标,求出平面
的法向量坐标,根据空间向量二面角公式即可求解.
(1)取,
的中点分别为
,
,连接
,
,
.
如图所示,则,
,
所以平面
平面
,
,所以
,
因为,
是
的中点,所以
为等边三角形,
所以,又因为
平面
,
平面
,
,所以
平面
.
,四边形
为平行四边形,所以
,
所以平面
,又因为
平面
,
所以平面平面
.
(2)以为坐标原点,在平面
内与
垂直的直线为
轴,
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系,
则,
平面的一个法向量
,
设平面的法向量
,
,
,所以
,令
,
则 ,所以
,
所以,
所以平面与平面
所成锐二面角的大小为
.
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【题目】已知椭圆:
的离心率
,椭圆
的上、下顶点分别为
,
,左、右顶点分别为
,
,左、右焦点分别为
,
.原点到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是椭圆上异于
,
的任一点,直线
,
,分别交
轴于点
,
,若直线
与过点
,
的圆
相切,切点为
,证明:线段
的长为定值,并求出该定值.
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【题目】如图,过抛物线y2=2px(p>0)上一点P(1,2),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时:
(1)求y1+y2的值;
(2)若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1,3]时,求△ABP面积S△ABP的最大值.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,点
,
,
分别是椭圆
的左、右焦点,
为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过左焦点作直线
交椭圆于
两点,其中
,另一条过
的直线
交椭圆于
两点(不与
重合),且
点不与点
重合. 过
作
轴的垂线分别交直线
,
于
,
.
①求点坐标; ②求证:
.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以原点
为极点,以
轴为非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系相同的长度单位.圆
的方程为
被圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设圆与直线
交于点
,若点
的坐标为
,且
,求
的值.
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【题目】某校高三男生体育课上做投篮球游戏,两人一组,每轮游戏中,每小组两人每人投篮两次,投篮投进的次数之和不少于次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组,小明、小亮投篮投进的概率分别为
.
(1)若,
,则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率;
(2)若则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为
次,则理论上至少要进行多少轮游戏才行?并求此时
的值.
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【题目】有一片产量很大的水果种植园,在临近成熟时随机摘下某品种水果100个,其质量(均在l至11kg)频数分布表如下(单位: kg):
分组 | | | | | |
频数 | 10 | 15 | 45 | 20 | 10 |
以各组数据的中间值代表这组数据的平均值,将频率视为概率.
(1)由种植经验认为,种植园内的水果质量近似服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
近似为样本方差
.请估算该种植园内水果质量在
内的百分比;
(2)现在从质量为 的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果,再从这14个水果中随机抽取3个.若水果质量
的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元,4元,6元,记随机抽取的3个水果总利润为
元,求
的分布列及数学期望.
附:
,则
.
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【题目】如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第3季度内,洗衣机销量约占,电视机销量约占
,电冰箱销量约占
).根据该图,以下结论中一定正确的是( )
A. 电视机销量最大的是第4季度
B. 电冰箱销量最小的是第4季度
C. 电视机的全年销量最大
D. 电冰箱的全年销量最大
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