Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右焦点，为等腰三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合. 过作轴的垂线分别交直线，于,.

①求点坐标； ②求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） 见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据已知求出，即得椭圆方程为. （Ⅱ）①由 可求. ②当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，. 当不与轴垂直时，联立直线和椭圆方程证明，即.

（Ⅰ）由已知，，得，，

为等腰三角形， ，

则 解得，

椭圆方程为.

（Ⅱ）①由题意可得直线的方程为.

与椭圆方程联立,由 ，可求.

②当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.

当不与轴垂直时，

设，，的方程为（）.

由消去，整理得.

则，.

由已知，，则直线的方程为，

令，得点的纵坐标.

把代入得.

由已知，，则直线的方程为,

令，得点 的纵坐标.

把代入得.

,

把，代入到中，

=.

即，即.