Question

有下列命题：①在空间中，若OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'；
②直角梯形是平面图形；
③{长方体}⊆{正四棱柱}⊆{直平行六面体}；
④若a、b是两条异面直线，a?平面α，a∥平面β，b∥平面α，则α∥β；
⑤在四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则点A在面PBC内的射影为△PBC的垂心，其中真命题的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根据空间两条平行线的性质，结合等角定理及其推论，可得①不正确；根据平面的基本性质，得到②正确；根据四棱柱的分类，得到{长方体}?{正四棱柱}，③不正确；根据线面平行的判定与性质和面面平行的判定定理，若在④中加上“b?平面β”这个前提，就是真命题，少了这一条④就不正确；根据线面垂直的判定与性质，可以证明出⑤是真命题．由此得到正确答案．
解答：对于①在空间中，若OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°，故①不正确；
对于②，因为直角梯形的上下底所在直线是两条平行线，故直角梯形是平面图形，所以②正确；
对于③，长方体是底面为矩形的直四棱柱，不一定是正四棱柱，故{长方体}?{正四棱柱}，③不正确；
对于④，a、b是两条异面直线，若a?平面α，a∥平面β，b?平面β，b∥平面α，则α∥β．
但题设中没有“b?平面β”这个前提，就不能得到平面α∥β，故④不正确；
对于⑤，在四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，
设点A在面PBC内的射影为H，连接AH、PH，则
∵AH⊥面PBC，BC?面PBC，∴BC⊥AH
∵PA⊥BC，AH、PA是平面PAH内的相交直线，
∴BC⊥面PAH，结合PH?面PAH，可得PH⊥BC
同样的方法，可以证出CH⊥PB，从而得到△PBC的垂心，故⑤正确．
综上所述，正确的命题是②⑤，共2个
故选B
点评：本题结合空间中的几个命题真假的判断，考查了线面平行和线面垂直、面面平行等空间中直线与平面之间的位置关系的知识点，属于基础题．