Question

如图，已知四边形ABCD与CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，
又因为四边形CDEF为正方形，
所以ED⊥CD．
因为ED?平面CDEF，
所以ED⊥平面ABCD．…（4分）
（Ⅱ）以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．
所以平面BDE的法向量为

AC

=(-1，1，0)．…（5分）
设平面BEC的法向量为

n

=（x，y，z）．
因为

CB

=(1，0，0)，

CE

=(0，-1，1)，
所以

x=0 -y+z=0

即

x=0 y=z.

令z=1，则

n

=（0，1，1）．…6分
所以cos＜

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC || n |

=

1

2

．
所以二面角D-BE-C的大小为60°．…（8分）