【题目】已知函数f(x)=a(x-lnx)(a∈R).
(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)<+x-1恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(-∞,1)
【解析】
(Ⅰ)先求导,根据a的不同取值范围进行分类讨论,求出单调性;
(Ⅱ)不等式恒成立问题转化为函数值不大于零的问题。对函数求导,然后分类讨论,确定实数a的取值范围。
解:(I)f′(x)=a(1-)=
,(x>0).
当a>0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
当a<0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
当a=0时,函数f(x)=0(x>0),不具有单调性.
(Ⅱ)对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)<+x-1恒成立a(x-lnx)-
-x+1≤0,(*)
令g(x)=a(x-lnx)--x+1,(x>0).
g′(x)=a(1-)+
-1=
,
当a≤1时,∵x>0,∴(a-1)x-1<0,h′(x)>00<x<1;h′(x)<0x>1.
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴h(x)≤h(1)=a-1,要使不等式(*)恒成立,则a-1<0,即a<1.
当a>1时,h(1)=a-1>0,不等式(*)不恒成立.
故实数a的取值范围是(-∞,1).
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【题目】设椭圆的右顶点为
,上顶点为
.已知椭圆的离心率为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线:
与椭圆交于
,
两点,且点
在第二象限.
与
延长线交于点
,若
的面积是
面积的3倍,求
的值.
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【题目】某油库的容量为31万吨,油库已储存石油10万吨.计划从2020年1月起每月初先购进石油万吨,然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求.若区域内每月用石油1万吨,区域外前
个月的需求量
(万吨)与
的函数关系为
.已知前4个月区域外的需求量为15万吨.
(1)试写出200年第个月石油调出后,油库内储油量
(万吨)的函数表达式;
(2)要使库中的石油在2020年前10个月内每个月都不超过油库的容量,又能满足区域内和区域外的需求,求的取值范围.
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【题目】在中,
为直角,
,
,
与
相交于点
,
,
.
(1)试用、
表示向量
;
(2)在线段上取一点
,在线段
上取一点
,使得直线
过
,设
,
,求
的值;
(3)若,过
作线段
,使得
为
的中点,且
,求
的取值范围.
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【题目】2018年非洲猪瘟在东北三省出现,为了进行防控,某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务,收费标准是:每天公司收取养猪场技术服务费120元,当天若需要用药的猪不超过45头,不另外收费,若需要用药的猪超过45头,超过部分每头收取药费8元.
(1)设医药公司日收费为(单位:元),每天需要用药的猪的数量为
(单位:头),
,试写出医药公司日收取的费用
关于
的函数关系式;
(2)若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务,10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计,得到如下列联表.
9月份 | 10月份 | 合计 | |
未发病 | 40 | 85 | 125 |
发病 | 65 | 20 | 85 |
合计 | 105 | 105 | 210 |
根据以上列联表,判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关?
附:,其中
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某企业年的纯利润为
万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降,若不进行技术改造,预测从今年(
年)起每年比上一年纯利润减少
万元,今年初该企业一次性投入资金
万元进行技术改造,预计在未扣除技术改造资金的情况下,第
年(今年为第一年)的利润为
万元(
为正整数).
(1)设从今年起的前年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
万元,进行技术改造后的累计纯利润为
万元(须扣除技术改造资金),求
,
的表达式;
(2)以上述预测,从今年起该企业至少经过多少年后,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若<<0,则下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④lna2>lnb2中,正确的是( )
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
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