Question

3．设X为随机变量，从棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X=0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积
（1）求X=0的概率；
（2）求X的分布列，并求其数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出从正方体的八个顶点中任取四个点，共有${C}_{8}^{4}$=70种情况，当四点共面时，共有12种情况，即可由概率公式求得概率．
（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：①四点在相对面且异面的对角线上；②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．

解答 解：（1）从棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点中任取四个点，共有${C}_{8}^{4}$=70种情况，当四点共面时，共有12种情况，
∴P（X=0）=$\frac{12}{70}$=$\frac{6}{35}$．
（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：
①四点在相对面且异面的对角线上，体积为a³-4×$\frac{1}{6}$a³=$\frac{1}{3}$a³，这样的取法共有2种；
②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为$\frac{1}{6}$a³，这样的取法共有70-12-2=56种．
∴X的分布列为

X	0	$\frac{1}{3}$a3	$\frac{1}{6}$a3
P	$\frac{6}{35}$	$\frac{1}{35}$	$\frac{28}{35}$

数学期望E（X）=$\frac{1}{3}$a³×$\frac{1}{35}$+$\frac{1}{6}$a³×$\frac{28}{35}$=$\frac{1}{7}$a³．

点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．