Question

11．能使不等式f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若a＞0，b＞0且a+b=1，则$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上确界为（　　）

• A． $-\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． -4

Answer 1

分析 由乘1法和基本不等式的运用，即可得到最大值，即上确界．

解答 解：若a＞0，b＞0且a+b=1，
则$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$=-（a+b）（$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$）
=-（$\frac{5}{2}$+$\frac{2a}{b}$+$\frac{b}{2a}$）≤-（$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{2a}}$）
=-（$\frac{5}{2}$+2）=-$\frac{9}{2}$．
当且仅当b=2a=$\frac{2}{3}$时，取得最大值-$\frac{9}{2}$．
故选A．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．