Question

1．已知函数f（x）=lnx-x+1
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）求证：对任意的b＞a＞0，有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a（1+a）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求函数的最大值；
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-1在（0，+∞）上是减函数可判断对任意的b＞a＞0，$\frac{1}{b}$-1＜$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$-1，可证明$\frac{1}{a（1+a）}$＞$\frac{1}{a}$-1，从而证明．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
∴f_max（x）=f（1）=ln1-1+1=0；
（Ⅱ）证明：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-1在（0，+∞）上是减函数；
∴对任意的b＞a＞0，$\frac{1}{b}$-1＜$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$-1，
而$\frac{1}{a（1+a）}$-（$\frac{1}{a}$-1）=$\frac{1-1-a+{a}^{2}+a}{a（1+a）}$=$\frac{{a}^{2}}{a（1+a）}$＞0，
∴$\frac{1}{a（1+a）}$＞$\frac{1}{a}$-1，
∴对任意的b＞a＞0，有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a（1+a）}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的证明．