Question

1．在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，已知a₁=1且a₁=b₁，a₂=b₂，a₅=b₃
（1）求等差数列{a_n}，等比数列{b_n}的通项公式
（2）当T_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$，求数列{T_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+4d={q}^{2}}\end{array}\right.$，由d≠0，能求出等差数列{a_n}，等比数列{b_n}的通项公式．
（2）T_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），由此利用裂项求和法能求出数列{Tn}的前n项和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1且a₁=b₁，a₂=b₂，a₅=b₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+4d={q}^{2}}\end{array}\right.$，由d≠0，解得d=2，q=3，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
b_n=3^n-1．
（2）T_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{a+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质及裂项求和法的合理运用．