Question

6．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$（a∈R，a≠0）．
（1）求f （x）的单调区间；
（2）证明：?n∈N^*，有$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}$；
（3）若a_n=1+$\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$-lnn，证明：?n∈N^*，有a_n＞a_n+1＞0．

Answer 1

分析 （1）利用导数的正负，求f （x）的单调区间；
（2）设x=$\frac{1}{n}∈（0，1]$，由（1）知：f （x）=l_n（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，f （0）=0，当x∈（0，1）时，f （x）单调递增，可得$\frac{x}{x+1}＜ln（x+1）$，再来证明：当x∈（0，1）时ln（1+x）＜x．构造函数m（x）=ln（x+1）-x  x∈（0，1），即可证明结论；
（3）利用作差法证明a_n＞a_n+1，再用放缩法证明a_n＞0．

解答 （1）解：$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{x}{{{{（1+x）}^2}}}$．
令f'（x）＞0，又x＞-1，则x＞0，
令f'（x）＜0，又x＞-1，则-1＜x＜0    
故f（x）的递减区间是（-1，0），递增区间是（0，+∞）…（4分）
（2）证明：设x=$\frac{1}{n}∈（0，1]$，则$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}?\frac{x}{x+1}＜ln（x+1）＜x$，
由（1）知：f （x）=l_n（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，f （0）=0，
当x∈（0，1）时，f （x）单调递增，∴f （x）＞0，即$\frac{x}{x+1}＜ln（x+1）$．
再来证明：当x∈（0，1）时ln（1+x）＜x．
构造函数m（x）=ln（x+1）-x  x∈（0，1），则$m'（x）=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}＜0$，
故m（x）在（0，1）上递减，
∴当x∈（0，1）时，m（x）＜m（0）=0，即ln（1+x）＜x，
综上可知：?n∈N^*有$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}$．…（8分）
（3）证明：由（2）的结论知，?n∈N^*有$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}$
∴${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{1}{n+1}-ln（n+1）+lnn=\frac{1}{n+1}-ln（1+\frac{1}{n}）＜0$
∴a_n＞a_n+1
又${a_n}=1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}-lnn＞ln（1+1）+ln（1+\frac{1}{2}）+…+ln（1+\frac{1}{n}）-lnn$
=ln2+ln$\frac{3}{2}+…+ln\frac{n+1}{n}-lnn$=ln2+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]-lnn=ln（n+1）-lnn＞0
综上，?n∈N^*有a_n＞a_n+1＞0…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．