Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意的n∈N^*，均有an+1=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）由a₂、a₅、a₁₄成等比数列，利用等比中项定义建立关于d的方程解出d=2，从而得出{b_n}的公比q=

a5

a2

=3，再利用等比数列的通项公式加以计算，即可算出数列{b_n}的通项公式；
（2）取n=1算出c₁=b₁a₂=3．当n≥2时，用n+1代替n代入题中的等式得到一个新的式子，再将两式相减并化简得到

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，从而得出c_n=2b_n=2×3^n-1，由此利用等比数列求和公式加以计算，即可得到c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的第二、三、四项，
∴a₂a₁₄=a₅²，可得（1+d）（1+13d）=（1+4d）²，
解之得d=2或d=0（舍），
∴a₂=a₁+d=1+2=3，a₅=a₁+4d=1+4×2=9，
∵等比数列{b_n}的公比q=

a5

a2

=3，∴b₁=1，
∴b_n=b₁•q^n-1=1•3^n-1=3^n-1；
（2）当n=1时，a2=

c1

b1

，得c₁=b₁a₂=1×3=3，
当n≥2时，an+1=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

…①，an=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

…②，
①-②得，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，即c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2），
∴

cn+1

cn

=

2×3n

2×3n-1

=3（n≥2），得n≥2时数列{c_n}构成公比为3的等比数列．
因此，c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹²
=1+2×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹²=1+

2(1-32013)

1-3

=3²⁰¹³．

点评：本题给出等差、等比数列模型，求通项公式并求数列的前2013项和．着重考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式和数列求和的一般方法等知识，属于中档题．