Question

设x₁，x₂是函数f（x）=x³+x²-a²x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=1．
（1）证明：0＜a≤；
（2）证明：|b|≤；
（3）设g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x₁＜x＜1，x₁＜0，求证：|g（x）|≤a．

Answer 1

解：（1）证明：∵x₁，x₂是f（x）=的两个极值点，
∴x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，
∴x₁x₂=-a，…（2分）
∴由条件|x₁|+|x₂|=1及基本不等式可得
2，
∴，
∴．…（5分）
（2）由条件可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=1，
∴，
∴b²=（1-4a）a²，
令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，
则h′（x）=-2a（6a-1）．
∵，
∴时，h′（a）＞0；
时，h′（a）＜0．
∴h（a）在a=处取得最大值，
而，
故h（a）在[0，]上的最大值为，
也就是在（0，]上的最大值为，此时a=，
∴，即|b|≤． …（10分）
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）（x-x₂-1）（12分）
由条件x-x₁＞0，
∵x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，
∴x₂＞0，x＜1，
∴x-x₂-1＜0，
∴|g（x）|=a（x-x₁）（1+x₂-x）
≤
=，
∵|x₁|+|x₂|=x₂-x₁=1，
∴．
分析：（1）由x₁，x₂是f（x）=的两个极值点，知x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，由此入手能够证明0＜a≤．
（2）由x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，知b²=（1-4a）a²，令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，得到h′（x）=-2a（6a-1）．由此能够证明|b|≤．
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）（x-x₂-1），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜1，x-x₂-1＜0，由此能够证明|g（x）|≤a．
点评：本题考查导数在最大值、最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．