Question

在研究PM_2.5（霾的主要成分）形成原因时，某研究人员研究了PM_2.5与燃烧排放的CO₂，NO₂，CO，O₃等物质的相关关系，如图是PM_2.5与CO，O₃相关性的散点图，
（Ⅰ）根据三点图，请你就CO，O₃对PM_2.5的影响关系作出初步评价；
（Ⅱ）以100μg/m³为单位，在上述左图中取三个点，如下表所示，

PM2.5（x）	1	2	4
CO（y）	0.5	1	1.5

求

y

关于

x

的回归方程，并估计当CO的排放量为200μg/m³时，PM_2.5的值（用最小二乘法求回归方程的系数是（b=

n i-1 xi•yi-n . x • . y

n i-1 xi2-n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

）
（Ⅲ）雾霾对交通影响较大，某市交通部门发现，在一个月内，当CO排放量（单位：μg/m³）分别是60，120，180时，某路口的交通流量（单位：万辆）依次是800，600，200，在一个月内，CO排放量是60，120，180的概率依次是p，q，r，且ρ≤

1

3

，3ρ≤4r，求该路口一个月的交通流量期望值的最大值．

Answer 1

考点：线性回归方程

专题：概率与统计

分析：（I）根据左图的散点分布在一个条形区域内，可得CO与PM_2.5具有正相关关系，而右图散点之间分布较散不具有较强的相关关系；
（II）根据已知表中数据计算出

.

x

，

.

y

，

3

i=1

x

2 i

，

3

i=1

x

i

yi，求出回归直线方程，再将点的坐标代入回归直线方程可估计当CO的排放量为200μg/m³时，PM_2.5的值；
（III）p，q，r满足约束条件

p+q+r=1 p≤ 1 3 3q≤4r

，目标函数E（X）=200（3p+2q）+200，进而可得交通流量期望值的最大值．

解答： 解：（I）由已知中的散点图，可得CO与PM_2.5具有正相关关系，O₃与PM_2.5不存在相关关系；
（II）∵

.

x

=

7

3

，

.

y

=1，

3

i=1

x

2 i

=21，

3

i=1

x

i

yi=8.5，
∴b=

3 i=1 x   i yi-3 . x • . y

3 i=1 x 2 i -3 . x 2

=

8.5-3× 7 3 ×1

21-3×( 7 3 )2

=

9

28

，
a=

.

y

-b

.

x

=

1

4

，
∴

y

关于

x

的回归方程为

y

=

9

28

x+

1

4

，
当CO的排放量为200μg/m³时，PM_2.5的值

9

28

x+

1

4

=2，
解得：

x

=

49

9

，即PM_2.5的值为

49

9

×100≈544μg/m³；
（III）设交通流量是X，则X可以取800，600，200，
则X的分布列如下表所示：

X	800	600	200
P	p	q	r

∵

p+q+r=1 p≤ 1 3 3q≤4r

，
∴

4p+7q≤4 0＜p≤ 1 3 q＞0

，
交通流量X的期望值E（X）=800p+600q+200r=200（3p+2q）+200，
当p=

1

3

且q=

8

21

时，交通流量X的期望值E（X）取最大值200（3×

1

3

+2×

8

21

）+200≈552.38万辆，
即交通流量最大为552.38万辆．

点评：统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．