Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且，O，M分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）设是线段上一点，满足平面平面，试说明点的位置；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）中点；（Ⅲ）．

【解析】

试题（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，因为O，M分别为，的中点，所以，即可证明平面；

（Ⅱ）根据面面平行的性质定理，两个平行平面被第三个平面所截，则交线平行，根据已知平面平面，与平面交于，所以，则能推出点的位置．

（Ⅲ）由条件平面平面，为等边三角形，所以，再根据所给的数据求面积和高，即为体积．

试题解析：（Ⅰ）证明：因为O，M分别为，的中点，

所以．因为平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）解：连结ON，MN．因为平面平面，

且平面平面，平面平面，所以．

因为M为的中点，所以N为的中点．

（Ⅲ）解：因为，且，且O为的中点，

所以，．

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，可知三棱锥的体积．

其中，，，则．