【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数,若当
时,
的最大值为
.
(1)求函数的解析式;
(2)若对任意的,
,不等式
恒成立,求
的最大值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)由题意,得,对a分类讨论,明确函数的单调性,从而得到函数
的解析式;(2)令
.令
的最小值恒大于等于零,从而得到
的最大值.
试题解析:
(1)由题意,得.
当,即
时,
在
时为单调递减函数,
所以最大值为
.
当,即
时,当
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减,
所以的最大值为
.
当时,即
时,
,
在
时为单调递增函数,
所以的最大值为
.
综上得
(2)令.
①当时,
,
由,得
,
所以当时,
;
当时,
,
故最小值为
.
故当且
时,
恒成立.
②当,且
时,
.
因为,
所以单调递增,
故
.
令,
则,
故当时,
为减函数,
所以,
又,
所以当时,
,
即恒成立.
③当,且
时,
,
因为,
所以单调递减,
故.
令,
则,
所以当时,
为增函数,
所以,
所以,即
.
综上可得当时,“
”是“
成立”的充要条件.
此时.
令,
则,
令,得
.
故当时,
;
当时,
,
所以的最大值为
,
当且仅当,
时,取等号,
故的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*总有2Sn=an2+n,且an<an+1.若对任意n∈N*,θ∈R,不等式λ(n+2)恒成立,求实数λ的最小值( )
A.1B.2C.1D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥中,平面
平面
,
为等边三角形,
,且
,O,M分别为
,
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)设是线段
上一点,满足平面
平面
,试说明点的位置
;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
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