Question

4．△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A，则a的取值范围是$（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA，解得sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，根据余弦定理可得a=$\sqrt{\frac{4}{5-4cosC}}$，结合C的范围，可求得：a∈（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，2），又由余弦定理可得cosB=$\frac{{c}^{2}-3{a}^{2}}{2ac}$＞0，结合a$＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即可解得a的范围．

解答 解：∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，
∴2sinBcosA=4sinAcosA，
当cosA=0时，解得A=$\frac{π}{2}$（舍去），
当cosA≠0时，sinB=2sinA，
由正弦定理可得：b=2a，
由c=2，根据余弦定理可得：4=a²+4a²-4a²cosC，解得：a=$\sqrt{\frac{4}{5-4cosC}}$，
∵C∈（0，$\frac{π}{2}$），cosC∈（0，1），5-4cosC∈（1，5），解得：a∈（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，2）．
余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得cosB=$\frac{{c}^{2}-3{a}^{2}}{2ac}$＞0，
可得c$＞\sqrt{3}a$，c=2，可得a$＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
综上a∈$（\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{3}}{3}）$．
故答案为：$（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．