Question

15．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，0）时f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，则 f（log₂8）等于（　　）

• A． 3
• B． $\frac{1}{8}$
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 由函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），变形得到函数的周期，然后利用函数的周期性把f（log₂8）转化为求给出的函数解析式范围内的值，从而得到答案．

解答 解：由f（x+1）=f（x-1），
则偶函数f（x）为周期为2的周期函数，
∴f（log₂8）=f（3log₂2）=f（3）=f（3-2）=f（1）=f（-1）．
又当x∈[-1，0]时f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，
∴f（log₂8）=f（-1）=（$\frac{1}{2}$）^-1=2．
故选：D

点评 本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．