Question

【题目】如图所示，曲线由部分椭圆：和部分抛物线：连接而成，与的公共点为，，其中所在椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）过点的直线与，分别交于点，（，，，中任意两点均不重合），若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在抛物线方程中，令，求出，坐标，再由离心率的公式和之间的关系，求出；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆、抛物线方程中，求出，两点坐标，由向量垂直条件，可得等式，求出的值，进而求出直线的方程.

（Ⅰ）因为，所以，即，因此，代入椭圆方程中，得，由以及 ，可得，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程为：，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆得：，故可得点的坐标为：，显然，同理将代入抛物线方程中，得，故可求得的坐标为：，

，，解得，符合，故直线的方程为：.