【题目】平面直角坐标系中,圆方程为
,点
,直线
过点
(1)如图1,直线的斜率为,直线
交圆
于
不同两点,求弦
的长度;
(2)动点在圆
上作圆周运动,线段
的中点为点
,求点
的轨迹方程;
(3)在(1)中,如图2,过点作直线
,交圆
于
不同两点,证明:
.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于直线
和点
、
,记
,若
,则称点
,
被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点
,
被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.
(1)求证:点、
被直线
分隔;
(2)若直线是曲线
的分隔线,求实数
的取值范围;
(3)动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线.
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【题目】如图,椭圆经过点
,且点
到椭圆的两焦点的距离之和为
.
(l)求椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆
上的两个点,线段
的中垂线
的斜率为
且直线
与
交于点
,
为坐标原点,求证:
三点共线.
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【题目】设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;
(2)将抽取的5名运动员进行编号,编号分别为,从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. 设“编号为
的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件A,求事件A发生的概率.
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【题目】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和
,现安排甲组研发新产品
,乙组研发新产品
.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品研发成功,预计企业可获得
万元,若新产品
研发成功,预计企业可获得利润
万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
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【题目】如图所示,曲线由部分椭圆
:
和部分抛物线
:
连接而成,
与
的公共点为
,
,其中
所在椭圆的离心率为
.
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)过点的直线
与
,
分别交于点
,
(
,
,
,
中任意两点均不重合),若
,求直线
的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的倾斜角为
,且经过点
.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
,从原点O作射线交
于点M,点N为射线OM上的点,满足
,记点N的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线C交于P,Q两点,求
的值.
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【题目】定义向量的“相伴函数”为
,函数
的“相伴向量”为
,其中O为坐标原点,记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设,求证:
;
(2)已知且
,求其“相伴向量”的模;
(3)已知为圆
上一点,向量
的“相伴函数”
在
处取得最大值,当点M在圆C上运动时,求
的取值范围.
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