Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于直线和点、，记，若，则称点,被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点,被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.

（1）求证：点、被直线分隔；

（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；

（3）动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3），证明见解析

【解析】

(1)根据点,被直线l分隔的定义证明即可,

(2)先由直线与曲线无交点,利用判别式小于0可得的范围,然后在曲线上取两个点验证是否被直线分隔,

(3)先求出轨迹的方程,然后证明轨迹方程与轴无交点,再在轨迹上取两个点验证是否被轴分隔.

（1）由题意得：,

被直线分隔；

（2）由题意得：直线与曲线无交点,

,整理得无解,即

,

又对任意的，点和在曲线上，满足，所以点和被直线分隔，

所求的k的范围是.

（3）由题意得：设,,

化简得点M的轨迹方程为

对任意的，点不是方程的解

直线与曲线E没有交点,

又曲线E上的两点和对于直线满足,

即点和被直线分隔,

直线y轴是E的分隔线.