Question

8．在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为12π．

Answer 1

分析 由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径，即可求出四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，
连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，即∠CPH=30°，
∵CH=$\sqrt{2}$，
∴PC=2$\sqrt{2}$，
∴PD=2$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的半径为$\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4πR²=12π．
故答案为：12π．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的外接球的表面积，考查线面角，考查学生的计算能力，确定四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．