Question

设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R
（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立．
注：e为自然对数的底数．

Answer 1

分析：（I）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．
（II）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范围．

解答：解：（I）求导得f′（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，a=e或a=3e符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e²成立
②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
令h（x）=2lnx+1-

a

x

，则h（1）=1-a＜0，
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-

a

3e

≥2ln3e+1-

3e+ 2e ln3e

3e

=2（ln3e-

1

3 ln3e

）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x₀
则1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，从而，当x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，
当x∈（x₀，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）内是增函数，
在（x₀，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有

f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2 f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

有h（x₀）=2lnx₀+1-

a

x0

=0得a=2x₀lnx₀+x₀，将它代入f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函数4x²ln³x在（1，+∞）上是增函数故1＜x₀≤e
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

，
所以得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e
综上，a的取值范围为3e-

2e

ln3e

≤a≤3e

点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．