Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AA₁和BB₁的中点，则sin＜

CM

，

D1N

＞的值为（　　）

• A、

  1

  9

• B、

  4

  9

  5

• C、

  2

  9

  5

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，
利用三角函数的平方关系求出两个向量的夹角正弦．

解答：解：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（2，0，1），D₁（0，0，2），N（2，2，1）
可知

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1），
∴

CM

• 

D1N

 =2×2-2×2-1×1=-1，|

CM

|  = 3， | 

D1N

|=3
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM |   | D1N |

=-

1

9

，
由平方关系得
sin＜

CM

，

D1N

＞=

4 5

9

．
故选B

点评：本题考查向量的坐标的求法、利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、三角函数的平方关系．