Question

如图，直线l与AB交于点O，点M是AB的中点，过点A、M、B分别作l的垂线，垂足分别是E、F、G．求证：FM=

1

2

（BG-AE）．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例定理

专题：立体几何

分析：连接BE，交FM的延长线于T，构造两个三角形△BEG和△BEA，运用中位线定理证明．

解答： 证明；连接BE，交FM的延长线于T，
∵如图，直线l与AB交于点O，点M是AB的中点，
过点A、M、B分别作l的垂线，垂足分别是E、F、G．
∴T是BE的中点，FT∥BG，MT∥AE，
在△BEG中，FT是中位线，即FT=

1

2

BG，
在△BEA中，MT是中位线，即MT=

1

2

AE，
FM=FT-MT=

1

2

BG-

1

2

AE=

1

2

（BG-AE）．
即FM=

1

2

（BG-AE）成立．

点评：本题考查了运用构造三角形的方法，利用三角形的中位线定理证明线段的等量关系问题．