Question

已知a₁=

5

4

，a_n=

5nan-1

4an-1+n-1

（n≥2）．
（1）求证：{

n

an

-1}为等比数列，并求a_n；
（2）用数学归纳法证明：a₁•a₂…a_n＜

n!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5n

（n≥2）．

Answer 1

考点：数学归纳法,等比关系的确定

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，可求得

n

an

-1=

1

5

（

n-1

an-1

-1）（n≥2），易求

1

a1

-1=-

1

5

，于是知{

n

an

-1}是以-

1

5

为首项，

1

5

为公比的等比数列，从而可求其通项，继而可得a_n；
（2）利用数学归纳法证明：①当n=2时，易证a₁•a₂=

1

1- 1 51

•

2

1- 1 52

=

2!

(1- 1 51 - 1 52 + 1 53 )

＜

2!

(1- 1 51 - 1 52 )

，②假设n=k时，a₁•a₂…a_k＜

k!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k

（k≥2），利用该归纳假设，取证明当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答： 证明：（1）∵当n≥2时，a_n=

5nan-1

4an-1+n-1

，
∴

1

an

=

4an-1+n-1

5nan-1

，
∴

n

an

=

4nan-1+n2-n

5nan-1

=

4

5

+

n-1

5an-1

，
∴

n

an

-1=

n-1

5an-1

-

1

5

=

1

5

（

n-1

an-1

-1）（n≥2），
∴

n an -1

n-1 an-1 -1

=

1

5

，又a₁=

5

4

，

1

a1

-1=-

1

5

，
∴{

n

an

-1}是以-

1

5

为首项，

1

5

为公比的等比数列，
∴

n

an

-1=（-

1

5

）•(

1

5

)n-1=-(

1

5

)n，
∴a_n=

n

1- 1 5n

．
（2）证明：①当n=2时，a₁•a₂=

1

1- 1 51

•

2

1- 1 52

=

2!

(1- 1 51 - 1 52 + 1 53 )

＜

2!

(1- 1 51 - 1 52 )

，不等式成立；
②假设n=k时，a₁•a₂…a_k＜

k!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k

（k≥2），
则当n=k+1时，
a₁•a₂…a_k•a_k+1＜

k!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k

•

k+1

1- 1 5k+1

=

(k+1)!

(1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k )(1- 1 5k+1 )

=

(k+1)!

(1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k - 1 5k+1 + 1 5k+2 +…+ 1 52k+1 )

＜

(k+1)!

(1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5k - 1 5k+1 )

，
即n=k+1时，不等式也成立；
综合①②知，对任意n≥2（n∈N^*），不等式a₁•a₂…a_n＜

n!

1- 1 5 - 1 52 -…- 1 5n

（n≥2）成立．

点评：本题考查数列递推关系，考查等比数列的确定与其通项公式的求法，着重考查数学归纳法的应用，考查推理论证的能力，属于难题．