Question

已知函数f（x）=

x

-

1

x+1

（Ⅰ）写出f（x）的定义域并证明它在其定义域内是增函数；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数的单调性定义判定f（x）在定义域上的增减性，基本步骤是一取值，二作差，三判正负，四下结论；
（Ⅱ）利用函数f（x）在定义域上的增减性，求出f（x）的最值，从而得值域．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，f（x）的定义域为[0，+∞），
设0≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（

x1

-

1

x1+1

）-（

x2

-

1

x2+1

）
=

x1

-

x2

+

1

x2+1

-

1

x1+1

=

x1-x2

x1 + x2

+

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

=（x₁-x₂）（

1

x1 + x2

+

1

(x1+1)(x2+1)

）；
∵x₁-x₂＜0，

1

x1 + x2

+

1

(x1+1)(x2+1)

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）∵f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）≥f（0），
又f（0）=

0

-

1

0+1

=-1，
∴f（x）≥-1；
∴f（x）的值域是[-1，+∞）．

点评：本题考查了判定函数的单调性以及根据单调性求函数值域的问题，是基础题．