Question

已知m∈R，圆C：x²+y²-2mx+2（m-1）y+2m²-2m+

1

2

=0 
（1）求证：圆C的圆心在一条定直线上；
（2）已知：圆C与一条定直线相切，求这条定直线的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的一般方程

专题：计算题,证明题,直线与圆

分析：（1）化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标，消参后得到圆心轨迹方程，则答案可证；
（2）设出直线方程的斜截式，化为一般式，由圆心到直线的距离等于圆的半径得到关于m的一元二次方程，由对任意实数m方程恒成立，得到系数为0，联立方程组求得k和b的值，则定直线的方程可求．

解答： （1）证明：由C：x²+y²-2mx+2（m-1）y+2m²-2m+

1

2

=0，得 
(x-m)2+(y+m-1)2=

1

2

，
∴圆心C（m，1-m），
设圆心坐标为（x，y），
则

x=m y=1-m

，消去m得，x+y-1=0．
∴圆心C在定直线x+y-1=0上；
（2）解：设该直线方程为：y=kx+b，则C（m，1-m）到该直线的距离为

2

2

，
∴

|km-(1-m)+b|

k2+1

=

2

2

，
即：2（k+1）²m²+4（k+1）（b-1）m+2（b-1）²-k²-1=0．
由上述等式对于任意的m均成立，
∴

2(k+1)2=0 4(k+1)(b-1)=0 2(b-1)2-k2-1=0

，解得

k=-1 b=0

或

k=-1 b=2

．
∴这条直线为：y=-x或y=-x+2．

点评：本题考查圆的一般式和标准式方程的互化，训练了点到直线的距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，解答（2）的关键是把问题转化为关于m的方程恒成立，是中档题．