Question

已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．
（Ⅰ）分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数；
（Ⅱ）猜想凸n边的对角线条数f（n），并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,进行简单的合情推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据凸多边形的对角线的定义，可以求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数；
（Ⅱ）猜想凸n边的对角线条数f（n）=

n(n-3)

2

（n∈N₊，n≥3）用数学归纳法证明：第一步验证n=3是否成立，第二步假设n=k时，等式成立，第三部在（2）假设的基础上，验证n=k+1时是否成立，从而求证．

解答： 解：（Ⅰ）凸四边形的对角线的条数为2条，凸五边形的对角线的条数为5条，凸六边形的对角线的条数为9条；
（Ⅱ）猜想凸n边的对角线条数f（n）=

n(n-3)

2

（n∈N₊，n≥3）
用数学归纳法证明：（1）当n=3时，f（x）=

1

2

×3×0=0，凸三边形没有对角线，命题成立
（2）假设当n=k（k≥3）时命题成立，即凸k边形的对角线条数f（k）=

1

2

k（k-3）（k≥3），
当n=k+1时，k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A _k+1，增加的对角线是顶点A _k+1，与不相邻顶点连线再加上原k变形的一边A₁A_k+1，
∴增加的对角线条数为（k-3）+1=k-2，
∴f（k+1）=

1

2

×k（k-3）+k-1=

1

2

（k²-k-2）=

1

2

（k+1）（k-2）=

1

2

×（k+1）[（k+1）-3]
综上当n=k+1时，命题成立，
由（1）（2）可知，对任何n∈N₊，n≥3命题成立．

点评：本题考查归纳猜想，考查利用数学归纳法进行证明等式，证明时要注意归纳法的三个基本步骤，解题时要充分利用好假设，归纳法是高考常考的方法．