Question

已知函数f（x）=x²+2x，
（1）若x∈[-2，2]时，求f（x）的值域；
（2）若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的性质即可，求f（x）的值域；
（2）将不等式恒成立进行转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+2x的对称轴为x=-1，
∴当x∈[-2，2]时，
当x=-1，函数取得最小值f（-1）=1-2=-1，
当x=2时，函数取得最大值f（2）=4+4=8，
即函数f（x）的值域为：[-1，8]．
（2）由f（x+t）≤3x恒成立得：x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立，
令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，x∈[1，m]，
∵抛物线的开口向上，
∴u（x）的最大值为max{u（1），u（m）}，
由u（x）≤0恒成立知：

u(1)≤0 u(m)≤0

，
化简得：

-4≤t≤0 t2+2(1+m)t+m2-m≤0

，
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
则原题可转化为：存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0，
即：当t∈[-4，0]，g（t）_min≤0，
∵m＞1，g（t）的对称轴：t=-1-m＜-2，
①若-1-m＜-4，即m＞3时，g（t）_min=g（-4）=16-8（1+m）+m²-m≤0，
解得3＜m≤8，
②当-4≤-1-m≤-2，
即：1＜m≤3时，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m≤0，
解得1＜m≤3，
综上：m的取值范围为：（1，8]

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数恒成立问题，考查学生的分析能力，综合性较强，运算量较大．