Question

（1）若对一切实数x，不等式|x-3|-|x+2|＞a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式|x-3|-|x+2|＞a有解，求实数a的取值范围；
（3）若方程|x-3|-|x+2|=a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令f（x）=|x-3|-|x+2|=

5，x＜-2 1-2x，-2≤x≤3 -5，x＞3

，易求f（x）∈[-5，5]，|x-3|-|x+2|＞a恒成立?a＜f（x）_min，从而可得实数a的取值范围；
（2）不等式|x-3|-|x+2|＞a有解?a＜f（x）_max，而f（x）∈[-5，5]，于是可知实数a的取值范围；
（3）利用函数f（x）=|x-3|-|x+2|的值域为[-5，5]，从而可得答案．

解答： 解：（1）令f（x）=|x-3|-|x+2|=

5，x＜-2 1-2x，-2≤x≤3 -5，x＞3

，

∴f（x）∈[-5，5]，
∴f（x）_min=-5；
∵|x-3|-|x+2|＞a恒成立，
∴a＜f（x）_min=-5，
即实数a的取值范围为（-∞，-5）；
（2）由（1）知，f（x）∈[-5，5]，
∴不等式|x-3|-|x+2|＞a有解?a＜f（x）_max=5，
即实数a的取值范围为（-∞，5）；
（3）∵函数f（x）=|x-3|-|x+2|的值域为[-5，5]，要使方程|x-3|-|x+2|=a有解，
即函数f（x）=|x-3|-|x+2|与直线y=a有公共点，
∴-5≤a≤5，
∴实数a的取值范围为[-5，5]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与综合运算能力，考查作图与识图能力，属于中档题．