Question

设圆C：x²+（y-2）²=2，点M是x轴上的动点，MA，MB分别切圆C于A，B两点．
（1）证明直线AB过定点；
（2）如果AB=2，求直线MC的方程；
（3）若点M的坐标为（4，0），试问在线段CM（不包括端点）上是否存在一个定点N，使得圆C上的任意点P，都有

PM

PN

的值为定值？若存在，求出定点N的坐标与

PM

PN

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出切点坐标，可得切线方程，代入M的坐标，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；
（2）由AB=2，可得圆心 C（0，2）到AB的距离d=1，即可求出M的坐标，从而可求直线MC的方程；
（3）线段CM的方程为x+2y-4=0，设P（x，y），N（4-2b，b）（0＜b＜2），则由（

PM

PN

）²=

(x-4)2+y2

(x-4+2b)2+(y-b)2

=

1

λ

，可知分子中y的一次项为0，则分母中y的一次项为0，即可得出结论．

解答： （1）证明：设 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）
则MA：x₁x+（y₁-2）（y-2）=2，MB：x₂x+（y₂-2）（y-2）=2
M坐标代入得 x₁m-2（y₁-2）=2，x₂m-2（y₂-2）=2，
所以A、B都满足方程 mx-（y-2）=2
故直线AB的方程为mx-2（y-2）=2，
所以直线AB过定点 （0，1）；
（2）解：因为AB=2，圆C：x²+（y-2）²=2的半径

2

所以圆心 C（0，2）到AB的距离d=1，
由点到直线的距离公式

2

m2+4

=1，
解得m=0，
所以M（0，0），
所以MC的方程：x=0；
（3）解：线段CM的方程为x+2y-4=0，设P（x，y），N（4-2b，b）（0＜b＜2），则
由（

PM

PN

）²=

(x-4)2+y2

(x-4+2b)2+(y-b)2

=

1

λ

，可知分子中y的一次项为0，则分母中y的一次项为0，
∴b=0
∵0＜b＜2，
∴在线段CM（不包括端点）上不存在一个定点N，使得圆C上的任意点P，都有

PM

PN

的值为定值．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查定值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．