Question

函数f(x)=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，则下列说法中正确命题的个数是（　　）
①函数y=f（x）-ln（x+1）有3个零点；
②若x＞0时，函数f（x）≤

k

x

恒成立，则实数k的取值范围是[

3

2

，+∞）；
③函数f（x）的极大值中一定存在最小值；
④f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,函数恒成立问题,根的存在性及根的个数判断

专题：数形结合

分析：①分别画出y=f（x）和y=ln（x+1）的图象，找其交点个数；②画出y=

1

x

的图象，通过k的变化，观察双曲线的变化，找出在y=f（x）图象上方的k值；③通过f（x）的图象得到；④不完全归纳得到f（x）的解析式．

解答： 解：①先画出y=1-|x-2|（0≤x≤2）的图象C，由f（x）=

1

2

f（x-2）（x＞2）得：将C的图象向右平移2k（k∈N^*）个单位，再将纵坐标缩小为

1

2k

（k∈N^*）倍，再画出y=ln（x+1）的图象，发现有2个交点，故①错；

②画出y=

k

x

（x＞0）的图象，观察k的变化，当图象过点（3，

1

2

）时，图象恒在y=f（x）的图象上，此时
k=

3

2

，所以实数k的取值范围是[

3

2

，+∞），故②正确；

③由y=f（x）的图象可知，f（x）的极大值中不存在最小值0，故③错；
④当k=0，0＜X＜2时，f（x）=2⁰f（x）=1-|X-1|；当2＜x＜4时，f（x）=

1

2

f（x-2）；
当4＜x＜6时，f（x）=

1

4

f（x-4），…，当2k＜x＜2k+2时，f（x）=

1

2k

f（x-2k），
即有f（x-2k）=2^kf（x），从而有f（x）=2^kf（x+2k）），（k∈N），
对于一切x∈[0，+∞）恒成立，故④正确．
故选：B．

点评：本题主要考查分段函数的图象和性质，以及函数的零点、恒成立问题，函数解析式求法，意在考查运用数形结合数学思想方法解决问题的能力，是一道中档题．