Question

已知f(x)=

x2+ax+11

x+1

(a∈R)对任意x∈N^*，f（x）≥3恒成立，则a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式恒成立，进行参数分类，利用函数的最值关系即可得到结论．

解答： 解：∵对任意x∈N^*，f（x）≥3恒成立，
∴

x2+ax+11

x+1

≥3，
即x²+ax+11≥3（x+1）恒成立，
∴ax≥-x²+3x-8，
即a≥-x+3-

8

x

对任意x∈N^*恒成立，
设g（x）=-x+3-

8

x

=3-（x+

8

x

）在（0，

8

）上单调递增，在（

8

，+∞）上单调递减，
∴g（x）的最大值在x=3或x=2处取得，
∵g（2）=-3，g（3）=-

8

3

＞g（2），
∴g（x）的最大值为，g（3）=-

8

3

，
∴a≥-

8

3

，
即a的最小值为-

8

3

，
故答案为：-

8

3

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．