Question

【题目】如果双曲线的离心率e＝，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线是黄金双曲线；③在双曲线 (a>0，b>0)中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1(0，b)，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线 (a>0，b>0)中，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝120°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．

Answer 1

【答案】②③

【解析】①双曲线中a2＝2，b2＝，所以e2＝，所以双曲线不是黄金双曲线；

②双曲线中a2＝1，b2＝，则e2＝，即e＝，故双曲线是黄金双曲线；

③中，A2(a,0)，F1(－c,0)， ，即b2＝ac，又b2＝c2－a2，故c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，则e＝，故双曲线是黄金双曲线；

④中，不妨设M位于第一象限，可得点M(c， c)，因为点M在双曲线上，代入双曲线方程有c4－5a2c2＋a4＝0，所以e2＝，故双曲线不是黄金双曲线．

故答案为：②③.