Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F、G分别是PO、AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面EFG；
（Ⅱ）若AB=1，求三棱锥O-EFG的高．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设FG∩AC=H，连结EH，由已知条件推导出AP⊥PC，EH⊥PC，FG⊥PC，由此能证明PC⊥平面EFG．
（Ⅱ）由V_O-EFG=V_E-FOG得三棱锥O-EFG的高．

解答： （Ⅰ）证明：设FG∩AC=H，连结EH，
在Rt△ABC中，AB=BC，且AB²+BC²=AC²，
在△PAC中，PA=PC=AB，
PA²+PC²=AC²，∴AP⊥PC，
E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，
FG∥BD，
∴H为AO中点，
∴EH∥PA，故EH⊥PC，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG
∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，
∴FG⊥PC，
∵FG∩EH=H，
∴PC⊥平面EFG；
（Ⅱ）解：设三棱锥O-EFG的高为h，则
由V_O-EFG=V_E-FOG得

1

3

×

1

2

×

2

2

×

1

2

h=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

2

4

×

1

3

∴h=

1

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．