Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）求使f（x）在[0，+∞）上是减函数的充要条件；
（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（I）使f（x）在[0，+∞）上是减函数的充要条件是在[0，+∞）上f′（x）≤0．录用导数的运算法则和对a，b讨论即可得出．
（II）分类讨论：由（I）可知：当0＜a≤b时，f（x）在[0，+∞）上是减函数，此时函数f（x）的最大值为f（0；当x∈[0，

a-b

a

)时，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）f′(x)=

a

ax+b

-1=

-a(x- a-b a )

ax+b

．
使f（x）在[0，+∞）上是减函数的充要条件是在[0，+∞）上f′（x）≤0．
∵a＞0，b＞0，ax+b＞0，∴x-

a-b

a

≥0，∵x≥0，∴

a-b

a

≤0，
即0＜a≤b．
∴使f（x）在[0，+∞）上是减函数的充要条件是0＜a≤b．
（II）由（I）可知：当0＜a≤b时，f（x）在[0，+∞）上是减函数，此时函数f（x）的最大值为f（0）=lnb．
当0＜b＜a时，令f′（x）=0，解得x=

a-b

a

．
可知：当x∈[0，

a-b

a

)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈(

a-b

a

，+∞)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=

a-b

a

时，函数f（x）取得最大值，f(

a-b

a

)=lna-

a-b

a

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、充要条件，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．