Question

在直角坐标平面上给定一曲线y²=2x,
(1)设点A的坐标为,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)设点A的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d_min,并写出d_min=f(a)的函数表达式.

Answer 1

（1）|PA|=      （2）d_min=f(a)=

(1)设M(x,y)为曲线y²=2x上任意一点,
则|MA|²=+y²=x²+x+=+,
因为x∈[0,+∞),所以当x=0时,
|MA=+=,即|MA|_min=.
所以距点A最近的点P坐标为(0,0),这时|PA|=.
(2)依题意得,
d²=(x-a)²+y²=x²-2ax+a²+2x
=x²-2(a-1)x+a²
=[x-(a-1)]²+(2a-1)
因为x∈[0,+∞),
所以分a-1≥0和a-1<0两种情况讨论.
当a≥1时,=2a-1,即d_min=,
当a<1时,=[0-(a-1)]²+(2a-1)=a²,
即d_min=|a|.
这时恰好抛物线顶点(0,0)与点A(a,0)最近.
所以d_min=f(a)=