【题目】若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为 .
【答案】16
【解析】解:∵函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,
∴f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,
即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2+a(﹣3)+b]=0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2+a(﹣5)+b]=0,
解之得 ,
因此,f(x)=(1﹣x2)(x2+8x+15)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15,
求导数,得f′(x)=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,
令f′(x)=0,得x1=﹣2﹣ ,x2=﹣2,x3=﹣2+
,
当x∈(﹣∞,﹣2﹣ )时,f′(x)>0;当x∈(﹣2﹣
,﹣2)时,f′(x)<0;
当x∈(﹣2,﹣2+ )时,f′(x)>0; 当x∈(﹣2+
,+∞)时,f′(x)<0
∴f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣ )、(﹣2,﹣2+
)上是增函数,在区间(﹣2﹣
,﹣2)、(﹣2+
,+∞)上是减函数.
又∵f(﹣2﹣ )=f(﹣2+
)=16,
∴f(x)的最大值为16.
故答案为:16.
由题意得f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,由此求出a=8且b=15,由此可得f(x)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15.利用导数研究f(x)的单调性,可得f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣ )、(﹣2,﹣2+
)上是增函数,在区间(﹣2﹣
,﹣2)、(﹣2+
,+∞)上是减函数,结合f(﹣2﹣
)=f(﹣2+
)=16,即可得到f(x)的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线和定点
,
是此曲线的左、右焦点,以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求直线的极坐标方程;
(2)经过点且与直线
垂直的直线交此圆锥曲线于
两点,求
的值.
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【题目】f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a<b,则必有( )
A.af(b)≤bf(a)
B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)
D.bf(b)≤f(a)
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【题目】已知:如图,两同心圆: 和
.
为大圆上一动点,连结
(
为坐标原点)交小圆于点
,过点
作
轴垂线
(垂足为
),再过点
作直线
的垂线
,垂足为
.
(1)当点在大圆上运动时,求垂足
的轨迹方程;
(2)过点的直线
交垂足
的轨迹于
两点,若以
为直径的圆与
轴相切,求直线
的方程.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx﹣ (a>0),g(x)=4x+
+
,且y=f(x+
)为偶函数.设集合A={x|t﹣1≤x≤t+1}.
(1)若t=﹣ ,记f(x)在A上的最大值与最小值分别为M,N,求M﹣N;
(2)若对任意的实数t,总存在x1 , x2∈A,使得|f(x1)﹣f(x2)|≥g(x)对x∈[0,1]恒成立,试求a的最小值.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的最大值.
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【题目】如图是2017年第一季度五省情况图,则下列陈述正确的是( )
①2017年第一季度 总量和增速均居同一位的省只有1个;
②与去年同期相比,2017年第一季度五个省的总量均实现了增长;
③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江;
④2016年同期浙江的总量也是第三位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
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