Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx﹣ （a＞0），g（x）=4x+ + ，且y=f（x+ ）为偶函数．设集合A={x|t﹣1≤x≤t+1}．
（1）若t=﹣ ，记f（x）在A上的最大值与最小值分别为M，N，求M﹣N；
（2）若对任意的实数t，总存在x1 ， x2∈A，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥g（x）对x∈[0，1]恒成立，试求a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： = 为偶函数，

所以 ；

即t= ，f（x）=ax2﹣ x﹣ =a（x﹣ ）2﹣ ﹣ ，

在区间 上，

∵ ，

∴M﹣N=a；

（2）解：设2x=t，∵x∈[0，1]，∴t=2x∈[1，2]，

，

所以g（x）的最大值为 ．

依题意原命题等价于在A上，总存在两个点 ．

即只需满足在A上 ．

因为对任意的t都成立，所以当 也成立，由（1）知 ，

，

下面证明在[t﹣1，t+1]上总存在两点x1、x2，使得 成立．

当t≥1时，f（x）在[t，t+]递增，当t＜1时，f（x）在[t﹣1，t]递减，

则|f（x1）﹣f（x2）|max≥f（t+1）﹣f（t）= t﹣ ≥ ，

|f（x1）﹣f（x2）|max≥f（t﹣1）﹣f（t）= ﹣ t＞ ，

综上所述，

【解析】（1）由偶函数的定义，可得b=﹣ ，将f（x）配方，由对称轴和区间的关系，可得最大值和最小值，可得M﹣N=a；（2）设2x=t，求得g（x）的解析式（用t表示），求出最大值，结合条件可得a≥ ，证明在[t﹣1，t+1]上总存在两点x1、x2 ， 使得 成立．注意运用二次函数的单调性，即可得到a的最小值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．