Question

【题目】如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.

求椭圆的方程；

是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记， ， 的斜率为， ， .问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在常数符合题意.

【解析】试题分析：（1）根据离心率得a,b,c三者关系，再将P点坐标代入椭圆方程，解得， .（2）先根据两点斜率公式化简，以及，再利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简，最后作商得的值

试题解析： 由在椭圆上得， ①

依题设知，则②

②带入①解得， ， .

故椭圆的方程为.

由题意可设的斜率为，

则直线的方程为③

代入椭圆方程并整理，得，

设， ，则有

， ④

在方程③中令得， 的坐标为 .

从而， ， .

注意到， ， 共线，则有，即有.

所以⑤

④代入⑤得，

又，所以，故存在常数符合题意.