Question

【题目】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|= 的点P的个数为；若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】12；（2 ，2 ）
【解析】解：∵正方体的棱长为2，
∴BD1= =2 ，
∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|= ，
∴点P是以2c=2 为焦距，以a= 为长半轴，以 为短半轴的椭圆，
∵P在正方体的棱上，
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．
∴满足|PB|+|PD1|= 的点P的个数为12个．（2）∵满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，
∴|PB|+|PD1|=m＞|BD1|=2 ，∴m＞2 ，
∵正方体的棱长为2，∴正方体的面的对角线的长为2 ，
∵点P的个数为6，∴b＜ ，
∵短半轴长b= ，∴ ，解得m＜2 ．
∴m的取值范围是（2 ，2 ）．
所以答案是：12，（2 ，2 ）．