Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B，两点，△AOB的面积为8，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合）．

（1）求抛物线C的方程；
（2）若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，求|PF|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：F的坐标为 ，|AB|=2p，

∴ ，

∴p=4，

∴抛物线方程为y2=8x；

（2）解：设Q（x0，y0），P（x1，y1）

设直线为l：y﹣y0=k（x﹣x0），联立方程 得

利用△=0化简可得： ，

又∵ ，可得

∴直线l：y0y=4（x+x0），

∵ ， ，

∴ ，

∵y1y0=4（x0+x1），

∴x1x0+2（x0+x1）+4=（x1+2）（x0+2）=0，

∵x0＞0，

∴x1+2=0，

∴x1=﹣2，

即点P是抛物线准线x=﹣2上的点

∴PF的最小值是4

【解析】（1）F的坐标为 ，根据三角形的面积即可求出p的值，问题得以解决；（2）设Q（x0 ， y0），P（x1 ， y1）设直线为l：y﹣y0=k（x﹣x0），根据韦达定理求出和向量的数量积的运算，即可求出x1的值，问题得以解决．