Question

（本小题满分13分）已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点组成的菱形的面积是，O为坐标原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求线段AB长度的最小值；

（3）试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）； （2）线段AB长度的最小值为；（3）直线AB与圆相切．

【解析】

试题分析：（1）由题设可列方程组 ，解得 的值，从而确定椭圆C的方程；

（2）设点A，B的坐标分别为，其中，结合条件，把表示成 的函数再求其最值．

（3）设点A,B的坐标分别为，其中．写出直线AB的方程，求出原点到直线AB的距离，并结合条件判断与圆的半径的关系，从而得到直线与圆的位置关系．

试题解析：【解析】
（1）由题意，解得．

故椭圆C的标准方程为． 3分

（2）设点A，B的坐标分别为，其中，

因为，所以，即， 4分

解得，又，

所以

=

=

==， 5分

因为，当且仅当时等号成立，所以，

故线段AB长度的最小值为． 7分

（3）直线AB与圆相切． 8分

证明如下：

设点A,B的坐标分别为，，其中．

因为，所以，即，解得． 9分

直线AB的方程为，

即， 10分

圆心O到直线AB的距离, 11分

由，，

故 ，

所以 直线AB与圆相切． 13分

考点：1、椭圆的标准方程与简单几何性质；2、两点间的距离公式与点到直线的距离公式；3、直线与圆的位置关系．